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正

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λ——矩阵的等价标准形定理

即 定理1任一非零的m×n的λ——矩阵A（λ）等价于其标准形r≥1

d

i（λ）

（i=1

2

…

r）是首项系数为1的多项式

且d

i（λ）

|d

i+1

（i=1

2

…

r—1）□ 所谓λ——矩阵A（λ）与B（λ）等价即可通过一系列初等变换将A（λ）化成B（λ）。由初等变换与初等矩阵的关系得

A（λ）与B（λ）等价的充要条件是存在一系列初等阵P

1

…

P

5

和Q1

…

Q

t

使 P

1

P

2

…P

5

A（λ）Q

1

Q

2

…Q

t

=B（λ）令P（λ）=P

1

P

2

…P

5

Q（λ）=Q

1

Q

2

…Q

t

m收P（λ）

Q（λ）皆可逆。从而

任意的m×n的λ——矩阵A（λ）与B（λ）等价的充要条件是有m级可逆阵P（λ）和几级可逆阵Q（λ）

使P（λ）A（λ）Q（λ）=B（λ）。于是

定理1的一个等价说法即任意一个非零的m×n的λ——矩阵A（λ）

有m级可逆阵P（λ）和几级可逆阵Q（λ）使P（λ）A（λ）Q（λ）=D（λ）.特别地

A（λ）是1×n的λ——矩阵时

有D级可逆阵Q（λ）使A（λ）Q（λ）=D

0

（λ）=diag（d（λ）

0

…

0）

d（λ）是首项系数为1的多项式。